在上一节中，我们确定了不可约根系所有可能的 Dynkin 图，只需说明每一种 Dynkin 图都属于一种根系。在那之后，我们来简单谈谈 $\mathrm{Aut}(\mathrm{\Phi })$ 的事。

$A_l$ 到 $D_l$ 型根系的存在性事实上可通过直接验证典型李代数的根系来确定——虽然这当然要求我们去验证这些典型李代数是半单的。但直接给出这样的根系构造已经足够简单，还能更直白地写出其 Weyl 群。

A 到 G 型根系的构造

准备工作

我们的想法是：在不同的 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中工作——用常规的内积，并用 ${\epsilon }_i$ 来指代各个标准线性基。我们定义

我们将所取的欧氏空间设为 ${\mathbb{R}}^n$，或其一个合适的子空间。

则，根系会被定义为 $I$ 中（或 $E$ 的某个加性子集 $J$ 中）有特定长度的全体向量。

注意由于 $I$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的通常拓扑中是离散的，$\mathrm{\Phi }$ 当然是有限集，且不含 $0$ 。在任一种情况中，$\mathrm{\Phi }$ 都张成 $E$。容易验证各根系公理成立。

A 型根系 $A_l(l\ge 1)$

令

• $E$：${\mathbb{R}}^{l+1}$ 中与 $\epsilon ={\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_{l+1}$ 正交的 $l$ 维子空间 （即 $P_{\epsilon }$）。
• $I^{\prime }$：$E$ 中的格点模，即 $I\cap E$。
• $\mathrm{\Phi }$：$I^{\prime }$ 中全体满足 $(\alpha ,\alpha )$ 为 $2$ 的向量。

显然可知 $\mathrm{\Phi }:=\{{\epsilon }_i-{\epsilon }_j:i\ne j\}$，且 $|\mathrm{\Phi }|=l^2+l$ 。其根系有如下性质：

• 一个基 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}:1\le i\le l\}$。
• 极大根 $\theta ={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n={\epsilon }_1-{\epsilon }_{n+1}$ 。
• Cartan 整数 $⟨{\alpha }_j,{\alpha }_i⟩=⟨{\alpha }_i,{\alpha }_j⟩=-{\delta }_{i+1,j}$。
• $\mathcal{W}\cong S_{l+1}$ ：注意到 ${\alpha }_i$ 对应的反射的作用为对换 $({\epsilon }_i,{\epsilon }_{i+1})$，后者生成 $S_{l+1}$。

B 型根系 $B_l(l\ge 2)$

令

• $E={\mathbb{R}}^l$。
• $\mathrm{\Phi }$：$I$ 中模长平方为 1 或2 的全体向量。

容易发现 $\mathrm{\Phi }:=\{\pm {\epsilon }_i\}\cup \{\pm ({\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j)\}$，$|\mathrm{\Phi }|=2l+2(l^2-l)=2l^2$ 。其根系有如下性质：

• 一个基 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}{\}}_{i=1}^{l-1}\cup \{{\alpha }_l={\epsilon }_l\}$。
• 短根：${\epsilon }_i={\alpha }_i+{\alpha }_{i+1}+\cdots +{\alpha }_{l-1}+{\alpha }_l$；
• 长根：${\epsilon }_i+{\epsilon }_j={\alpha }_i+\cdots +{\alpha }_{j-1}+2{\alpha }_j+\cdots +2{\alpha }_l$，${\epsilon }_i-{\epsilon }_j={\alpha }_i+\cdots +{\alpha }_{j-1}$ 。
• 极大根 $\theta ={\alpha }_1+2{\alpha }_2+\cdots +2{\alpha }_l={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$ ；
• 最高短根 ${\theta }_s={\epsilon }_1={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_l$。
• $\mathcal{W}\cong S_l⋉{\mathbb{Z}}_2^l$。 $\mathcal{W}$ 的作用给出 ${\epsilon }_i$ 的全体置换及符号改变，可分解为位置变换群 ${\mathcal{W}}_1$ 半直积符号变换群 ${\mathbb{Z}}_2^l$。

C 型根系 $C_l(l\ge 2)$

最便利的方法是将 C 型根系看作同阶 B 型根系的 对偶根系。

令

• $E={\mathbb{R}}^l$。
• $\mathrm{\Phi }$：$I$ 中模长平方为 2 或 4 的全体向量。

容易发现 $\mathrm{\Phi }:=\{\pm 2{\epsilon }_i\}\cup \{\pm ({\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j)\}$，$|\mathrm{\Phi }|=2l+2(l^2-l)=2l^2$ 。其根系有如下性质：

• 一个基 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}{\}}_{i=1}^{l-1}\cup \{{\alpha }_l=2{\epsilon }_l\}$。
• $\mathcal{W}$ 与 B 型根系的相同。

D 型根系 $D_l(l\ge 4)$

令

• $E={\mathbb{R}}^l$。
• $\mathrm{\Phi }$： $I$ 中模长平方为 2 的全体向量，即 $\{\pm ({\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j)\}$，$|\mathrm{\Phi }|=2l^2-2l$。
• 一个基 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_i={\epsilon }_i-{\epsilon }_{i+1}{\}}_{i=1}^{l-1}\cup \{{\alpha }_l={\epsilon }_{l-1}+{\epsilon }_l\}$。
• 正根集 ${\mathrm{\Phi }}^{+}=\{{\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j:1\le i<j\le l\}$。即“下标小的项是正的”。
• 最大根为 $\theta ={\epsilon }_1+{\epsilon }_2=({\epsilon }_1-{\epsilon }_l)+({\epsilon }_2+{\epsilon }_l)={\alpha }_1+2{\alpha }_2+\cdots +2{\alpha }_{l-2}+{\alpha }_{l-1}+{\alpha }_l$。
• $\mathcal{W}\cong S_l⋉{\mathbb{Z}}_2^{l-1}$ 。Weyl 群作用给出 ${\epsilon }_i$ 的全体置换，并改变偶数个符号。

E 型根系 $E_6,E_7,E_8$

$E_6,E_7$ 均为 $E_8$ 的子系统，故只需构建 $E_8$ 。

考虑

• $E={\mathbb{R}}^8$；
• $I^{\prime }=I+\mathbb{Z}{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_8}{2}}$；
• $I^{″}$ 为 $I^{\prime }$ 中包含所有形如 ${\displaystyle \sum _{i=1}^8{c}_i{\epsilon }_i+{\displaystyle \frac{c}{2}}({\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_8)}$ ，$c_1+\cdots +c_8$ 为偶数， $c=0,1$ 的子群；
• $\mathrm{\Phi }$ 为 $I^{″}$ 中根的模长平方为 $2$ 的元素。即

或者说，分为这几个部分：
- $c=0$ ： $\pm ({\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j)$，$i<j$。
- ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{i=1}^8(-1{)}^{k(i)}{\epsilon }_i}$，这里 $k(i)=0,1$，且 ${\displaystyle b=\sum k(i)}$ 为偶数。
$|\mathrm{\Phi }|=2(8^2-8)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{8})=248$ 。

• 一个基是 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_8\}$，这里
  • ${\alpha }_1={\displaystyle \frac{{\epsilon }_1+{\epsilon }_8-({\epsilon }_2+\cdots +{\epsilon }_7)}{2}}$；
  • ${\alpha }_2={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$；
  • ${\alpha }_3={\epsilon }_2-{\epsilon }_1$；
  • ${\alpha }_i={\epsilon }_{i-1}-{\epsilon }_{i-2}$ ， $i=4,5,\cdots ,8$ 。
• 正根集 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}^{+}=\{{\epsilon }_j\pm {\epsilon }_i:1\le i<j\le l\}\cup \{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{i=1}^8(-1{)}^{k(i)}{\epsilon }_i:\sum k(i)\in 2\mathbb{Z},k(8)=0\}}$。 即：普通根中下标大的为正；特殊根的第8项系数为正。
• 由极大性，极大根的 ${\alpha }_1$ 项系数应为 $2$ ，故 $\theta$ 应为 ${\epsilon }_8\pm {\epsilon }_i$。那当然是$$\theta ={\epsilon }_8+{\epsilon }_7=2{\alpha }_1+2{\alpha }_8+3{\alpha }_7+4{\alpha }_6+5{\alpha }_5+6{\alpha }_4+4{\alpha }_3+3{\alpha }_2.$$以上的排序是为了服从 $E_8$ 的 Cartan 矩阵顺序。
• $\mathcal{W}$ 群的大小为 $2^{14}{3}^5{5}^{2}7$ 。

F 型根系 $F_4$

令

• $E={\mathbb{R}}^4$
• $I^{\prime }=I+{\displaystyle \frac{{\epsilon }_1+\cdots +{\epsilon }_4}{2}}\mathbb{Z}$
• $\mathrm{\Phi }$ 由 $I^{\prime }$ 中模长平方为 1 或 2 的根构成。则$$\mathrm{\Phi }=\{\pm {\epsilon }_i\}\cup \{\pm ({\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j)\}\cup \{\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}({\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2\pm {\epsilon }_3\pm {\epsilon }_4)\}.$$$|\mathrm{\Phi }|=8+2(4^2-4)+16=48$ 。
• 一个基为 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_1={\epsilon }_2-{\epsilon }_3,{\alpha }_2={\epsilon }_3-{\epsilon }_4,{\alpha }_3={\epsilon }_4,{\alpha }_4={\displaystyle \frac{1}{2}}({\epsilon }_1-{\epsilon }_2-{\epsilon }_3-{\epsilon }_4)\}$。
• 对应正根集 ${\mathrm{\Phi }}^{+}=\{{\displaystyle \frac{1}{2}}({\epsilon }_1\pm {\epsilon }_2\pm {\epsilon }_3\pm {\epsilon }_4)\}\cup \{{\epsilon }_k\}\cup \{{\epsilon }_i\pm {\epsilon }_j:i<j\}$。
• 极大根 $\theta ={\epsilon }_1+{\epsilon }_2=2{\alpha }_4+2{\alpha }_1+3{\alpha }_2+4{\alpha }_3$。
• 最高短根 ${\theta }_s={\epsilon }_1=2{\alpha }_4+{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3$ 。
• Weyl 群阶数为1152 。

G 型根系 $G_2$

我们先前已显示构造过，但仍可以抽象构造。

令

• $E$：${\mathbb{R}}^3$ 中与 ${\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3$ 正交的子空间。
• $I^{\prime }=I\cap E$： $E$ 中的格点模。
• $\mathrm{\Phi }$：$I^{\prime }$ 中所有模长平方为 2 或 6 的向量。故$$\mathrm{\Phi }=\pm \{{\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_2-{\epsilon }_3,{\epsilon }_1-{\epsilon }_3,2{\epsilon }_1-{\epsilon }_2-{\epsilon }_3,2{\epsilon }_2-{\epsilon }_1-{\epsilon }_3,2{\epsilon }_3-{\epsilon }_1-{\epsilon }_2\}.$$
• 一组基为 $\mathrm{\Delta }=\{{\alpha }_1={\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\alpha }_2=-2{\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3\}$。
• 对应正根为 ${\mathrm{\Phi }}^{+}=\{{\epsilon }_1-{\epsilon }_2,{\epsilon }_3-{\epsilon }_2,{\epsilon }_3-{\epsilon }_1,-2{\epsilon }_1+{\epsilon }_2+{\epsilon }_3,-2{\epsilon }_2+{\epsilon }_1+{\epsilon }_3,2{\epsilon }_3-{\epsilon }_1-{\epsilon }_2\}$ 。
• 极大根为 $\theta =2{\epsilon }_3-{\epsilon }_1-{\epsilon }_2=2{\alpha }_2+3{\alpha }_1$ 。
• 最高短根为 ${\theta }_s={\epsilon }_3-{\epsilon }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_1$ 。
• Weyl 群 $\mathcal{W}=⟨{\sigma }_{{\alpha }_1},{\sigma }_{{\alpha }_2}:{\sigma }_{{\alpha }_1}^2={\sigma }_{{\alpha }_2}^2=1=({\sigma }_{{\alpha }_1}{\sigma }_{{\alpha }_2}{)}^6⟩\cong D_6$ 。特别地，$${\sigma }_{{\alpha }_1}{\sigma }_{{\alpha }_2}({\alpha }_1,{\alpha }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right),{\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)}^6=I_2.$$

$\mathrm{\Phi }$ 的自同构群

我们现在来建立对根系自同构群的统一刻画。

证明： 若 $\tau \in \mathrm{\Gamma }\cap \mathcal{W}$，则 $\tau$ 的在 $E$ 上的作用（Weyl室上）是简单传递的，且将基映为基：但 $\tau$ 固定基，故只能为 $1$ 。

另一方面，若 $\tau \in \mathrm{Aut}(\mathrm{\Phi })$，则 $\tau (\mathrm{\Delta })$ 是另一个基。取$\sigma \in \mathcal{W}$ 使得 $\sigma (\tau (\mathrm{\Delta }))=\mathrm{\Delta }$，就有 $\sigma \tau \in \mathrm{\Gamma }$，这说明 $\mathcal{W}=\mathrm{\Gamma }\mathcal{W}$。

最后，由于Weyl 群是根系自同构群的正规子群，故 $\mathrm{Aut}(\mathrm{\Phi })=\mathrm{\Gamma }⋉\mathcal{W}$。$◻$